यदि a, b, c असमान हैं,तो निम्नलिखित सारणिक का | vedclass

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Question

(A) हमें सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \ b & b^2 & b^3 + 1 \ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} ight|$ दिया गया है।सारणि

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$1 + abc = 0$

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(A) हमें सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \ b & b^2 & b^3 + 1 \ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} ight|$ दिया गया है।सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \ b & b^2 & b^3 \ c & c^2 & c^3 \end{array} ight| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \ b & b^2 & 1 \ c & c^2 & 1 \end{array} ight|$.पहले सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array} ight| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \ b & b^2 & 1 \ c & c^2 & 1 \end{array} ight|$.दूसरे सारणिक में,पहले सारणिक से मिलान करने के लिए स्तंभों की अदला-बदली करें: $C_3 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_1$। इससे दो बार चिह्न बदलेंगे,इसलिए चिह्न धनात्मक ही रहेगा:$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array} ight| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array} ight| = (1 + abc) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array} ight|$.सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \ 1 & b & b^2 \ 1 & c & c^2 \end{array} ight|$ का मान $(a - b)(b - c)(c - a)$ होता है।अतः,$\Delta = (1 + abc)(a - b)(b - c)(c - a) = 0$.चूंकि $a, b, c$ असमान हैं,इसलिए $(a - b)(b - c)(c - a) 
eq 0$.इसलिए,शर्त $1 + abc = 0$ है।

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