જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A^{-1} = $

ધારો કે $X=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$Y=\alpha I+\beta X+\gamma X^{2}$ અને $Z=\alpha^{2} I-\alpha \beta X+\left(\beta^{2}-\alpha \gamma\right) X^{2}$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. જો $Y^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$ હોય,તો $(\alpha-\beta+\gamma)^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપનો છે,જ્યાં $a, b$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $-50 \leq b \leq 50$ છે. આવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે અને $A^{-1}$ ના તમામ ઘટકો પૂર્ણાંક હોય.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A(\operatorname{adj} A) = $

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. ચકાસો કે $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A) A = |A| I$.

$A$ એ એક ઇન્વોલ્યુટરી (involutory) શ્રેણિક છે જે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે,તો $\frac{A}{2}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શું થશે?