यदि f(x) = 1 + x + x^2 + ldots + x^{1000} है, | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ है।यह $1001$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = x$ ह

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$-500$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ है।यह $1001$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।श्रेणी का योग $f(x) = \frac{x^{1001} - 1}{x - 1}$ है,जहाँ $x 
eq 1$ है।$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करते हैं: $\left( \frac{u}{v} ight)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$.यहाँ $u = x^{1001} - 1$ और $v = x - 1$ है,इसलिए $u^{\prime} = 1001x^{1000}$ और $v^{\prime} = 1$ है।$f^{\prime}(x) = \frac{(1001x^{1000})(x - 1) - (x^{1001} - 1)(1)}{(x - 1)^2}$.अब,$x = -1$ रखने पर:$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001(-1)^{1000})(-1 - 1) - ((-1)^{1001} - 1)}{(-1 - 1)^2}$.$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001 	imes 1)(-2) - (-1 - 1)}{(-2)^2}$.$f^{\prime}(-1) = \frac{-2002 - (-2)}{4} = \frac{-2002 + 2}{4} = \frac{-2000}{4} = -500$.

यदि $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ है,तो $f^{\prime}(-1) = $ . . . . . .

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यदि $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$ है,तो $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2[f(x)-f(\frac{1}{2})]}{2x-1} = $

यदि $f(x)=e^{x} g(x)$,$g(0)=4$,और $g^{\prime}(0)=2$ है,तो $f^{\prime}(0)=$

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मान लीजिए $f: (-1, 1) \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$ है। मान लीजिए $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$ है। तो $g'(0) = $

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