यदि a + frac{pi}{2}

Question

(A) दी गई असमिका: $ a + \frac{\pi}{2} < 2 	an^{-1} x + 3 \cot^{-1} x < b $.हम जानते हैं कि $ 	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} $,इसलिए $ 	an

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$ \frac{\pi}{2} $ और $ 2 \pi $

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(A) दी गई असमिका: $ a + \frac{\pi}{2} हम जानते हैं कि $ 	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} $,इसलिए $ 	an^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x $.इस मान को व्यंजक में रखने पर: $ 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x) + 3 \cot^{-1} x = \pi - 2 \cot^{-1} x + 3 \cot^{-1} x = \pi + \cot^{-1} x $.अब असमिका इस प्रकार हो जाती है: $ a + \frac{\pi}{2} सभी भागों से $ \pi $ घटाने पर: $ a - \frac{\pi}{2} चूंकि $ \cot^{-1} x $ का परिसर $ (0, \pi) $ है,इसलिए $ 0 $ a - \frac{\pi}{2} $ a - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} $.$ b - \pi = \pi \Rightarrow b = 2\pi $.अतः,$ a = \frac{\pi}{2} $ और $ b = 2\pi $.

यदि $ a + \frac{\pi}{2} < 2 \tan^{-1} x + 3 \cot^{-1} x < b $ है,तो $ a $ और $ b $ के मान ज्ञात कीजिए।

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$\tan \frac{1}{2} \left[ \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2} + \cos^{-1} \frac{1-y^2}{1+y^2} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $|x| < 1, y>0$ और $xy < 1$ है।

यदि $f(n) = \tan \left[\tan ^{-1} \frac{1}{1+2} + \tan ^{-1} \frac{1}{1+6} + \tan ^{-1} \frac{1}{1+12} + \ldots + \tan ^{-1} \frac{1}{1+n(n+1)}\right]$ है, तो $f(2021) =$

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