यदि alpha और beta दो अलग-अलग सम्मिश्र संख | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $ z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} $. हमें $ |z| $ ज्ञात करना है।विचार करें कि $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\be

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(A) मान लीजिए $ z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} $. हमें $ |z| $ ज्ञात करना है।विचार करें कि $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right) $.अंश का विस्तार करने पर: $ (\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha}) = \beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha} = |\beta|^2 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.हर का विस्तार करने पर: $ (1-\bar{\alpha} \beta)(1-\alpha \bar{\beta}) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \bar{\alpha} \alpha \beta \bar{\beta} = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 |\beta|^2 $.चूँकि $ |\beta|=1 $,इसलिए $ |\beta|^2 = 1 $.$ |\beta|^2 = 1 $ को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:अंश: $ 1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.हर: $ 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 $.चूँकि अंश और हर समान हैं,इसलिए $ |z|^2 = 1 $,जिसका अर्थ है कि $ |z| = 1 $.

यदि $ \alpha $ और $ \beta $ दो अलग-अलग सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ $ |\beta|=1 $ है,तो $ \left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right| $ का मान क्या होगा?

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