જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2+4x+1}{x^2+x+1}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $\alpha, \beta$ એ $x^2+p x+q=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય અને $\alpha^4, \beta^4$ એ $x^2-r x+s=0$ ના બીજ હોય,તો સમીકરણ $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ ને હંમેશા

જો $\frac{x-P}{x^2-3x+2}$ એ $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$ માટે તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરે,તો $P$ નો વિસ્તાર શોધો.

જો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ ના $2$ પૂર્ણાંક બીજ હોય,અને અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં $\theta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $k\pi$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^{2}-4 \lambda x+5=0$ ના બીજ છે અને $\alpha, \gamma$ એ સમીકરણ $x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+7+3 \lambda \sqrt{3}=0$ ના બીજ છે. જો $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$ હોય,તો $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2}$ ની કિંમત શોધો.

જો પદાવલિ $7+6x-3x^2$ એ $x=\alpha$ આગળ તેની અંતિમ કિંમત $\beta$ પ્રાપ્ત કરે,તો સમીકરણ $x^2+\alpha x-\beta=0$ ના બીજના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?