यदि z और omega दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $|z \omega| = 1$,इसलिए $|z| |\omega| = 1$. साथ ही,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ ह

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$-i$

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(D) दिया गया है कि $|z \omega| = 1$,इसलिए $|z| |\omega| = 1$. साथ ही,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$. मान लीजिए $z = r_1 e^{i 	heta_1}$ और $\omega = r_2 e^{i 	heta_2}$. तब $|z| = r_1$ और $|\omega| = r_2$,इसलिए $r_1 r_2 = 1$. $\operatorname{Arg}(z) = 	heta_1$ और $\operatorname{Arg}(\omega) = 	heta_2$,इसलिए $	heta_1 - 	heta_2 = \frac{\pi}{2}$. हमें $\bar{z} \omega$ ज्ञात करना है। $\bar{z} = r_1 e^{-i 	heta_1}$. $\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i 	heta_1}) (r_2 e^{i 	heta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(	heta_2 - 	heta_1)}$. चूंकि $r_1 r_2 = 1$ और $	heta_2 - 	heta_1 = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए: $\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

यदि $z$ और $\omega$ दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z \omega|=1$ और $\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,तो $\bar{z} \omega =$

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