यदि $e^{i \theta} = \operatorname{cis} \theta$ है, तो $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n \theta)}{2^n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $z_1 + z_2 = 5$ और $z_1^3 + z_2^3 = 20 + 15i$ है। तो $|z_1^4 + z_2^4|$ का मान ज्ञात कीजिए।

दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, यदि $\operatorname{Re}(z_1 z_2) = 0$ और $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = 0$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सी संभावनाएं हैं?
$(A) \operatorname{Im}(z_1) > 0$ और $\operatorname{Im}(z_2) > 0$
$(B) \operatorname{Im}(z_1) < 0$ और $\operatorname{Im}(z_2) > 0$
$(C) \operatorname{Im}(z_1) > 0$ और $\operatorname{Im}(z_2) < 0$
$(D) \operatorname{Im}(z_1) < 0$ और $\operatorname{Im}(z_2) < 0$
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

दो संख्याएँ $k_1$ और $k_2$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। तो,इस बात की प्रायिकता कि $i^{k_1} + i^{k_2}$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$) का मान शून्य न हो,बराबर है:

यदि समुच्चय $\{\operatorname{Re}\left(\frac{z-\bar{z}+z \bar{z}}{2-3 z+5 \bar{z}}\right): z \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(z)=3\}$ अंतराल $(\alpha, \beta]$ के बराबर है,तो $24(\beta-\alpha)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $i z^3+z^2-z+i=0$ (जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है),तो $|z|$ का मान क्या है?