જો $a_n = \sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\ldots}}}$ ($n$ વખત),તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

એક શ્રેણી $\langle a_n \rangle$ ને $a_1 = 5, a_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + 4$ ($n > 1$ માટે) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તો,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{a_{n-1}}$ શોધો.

ધારો કે એક અચળ ન હોય તેવી $A.P.$ ના $2^{\text{nd}}$,$8^{\text{th}}$ અને $44^{\text{th}}$ પદો અનુક્રમે $G.P.$ ના $1^{\text{st}}$,$2^{\text{nd}}$ અને $3^{\text{rd}}$ પદો છે. જો $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $1$ હોય,તો પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ ધ્યાનમાં લો જ્યાં $a_{1}=1, a_{2}=2$ અને $n=1, 2, 3, \ldots$ માટે $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ છે. જો $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

$( - \pi ,\pi )$ અંતરાલમાં સમીકરણ $8^{(1 + |\cos x| + |\cos^2 x| + |\cos^3 x| + \dots)} = 4^3$ નો ઉકેલ કયો છે?

એક $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદોનો ગુણાકાર $512$ છે. જો આ પદોમાંથી પ્રથમ અને બીજા પદમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે,તો તે ત્રણ પદો હવે $A.P.$ બનાવે છે. તો આપેલ $G.P.$ ના મૂળ ત્રણ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?