यदि x^x y^y=e^e है,तो left(frac{d^2 y}{d x^2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x^x y^y=e^e$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln(x^x y^y) = \ln(e^e)$$x \ln x + y \ln y = e$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$

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$\frac{1}{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(e, e)}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $x^x y^y=e^e$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln(x^x y^y) = \ln(e^e)$$x \ln x + y \ln y = e$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{dx}(x \ln x) + \frac{d}{dx}(y \ln y) = \frac{d}{dx}(e)$$(1 + \ln x) + (1 + \ln y) \frac{dy}{dx} = 0$बिंदु $(e, e)$ पर,$\ln e = 1$:$(1 + 1) + (1 + 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = 0$$2 + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = 0 \Rightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = -1$$(1 + \ln x) + (1 + \ln y) y' = 0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y' \cdot y' + (1 + \ln y) y'' = 0$$\frac{1}{x} + \frac{(y')^2}{y} + (1 + \ln y) y'' = 0$$(e, e)$ पर जहाँ $y' = -1$:$\frac{1}{e} + \frac{(-1)^2}{e} + (1 + \ln e) y'' = 0$$\frac{1}{e} + \frac{1}{e} + 2 y'' = 0$$\frac{2}{e} + 2 y'' = 0 \Rightarrow y'' = -\frac{1}{e}$चूंकि $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = -1$,हम लिख सकते हैं कि $y'' = \frac{-1}{e} = \frac{1}{e} \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)}$।

यदि $x^x y^y=e^e$ है,तो $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)_{(e, e)}=$

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