यदि 0

Question

(A) हमारे पास $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2(1-x^3)}} = \int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^3}}$ है।अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^2 dx}{x^

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$\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})}{(\sqrt{8}+\sqrt{7})}$

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(A) हमारे पास $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2(1-x^3)}} = \int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^3}}$ है।अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3\sqrt{1-x^3}}$.मान लीजिए $t = \sqrt{1-x^3}$,तब $t^2 = 1-x^3$,इसलिए $2t dt = -3x^2 dx$,जिसका अर्थ है कि $x^2 dx = -\frac{2}{3}t dt$.साथ ही $x^3 = 1-t^2$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{-\frac{2}{3}t dt}{(1-t^2)t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + C = \frac{1}{3} \log \left| \frac{1-t}{1+t} \right| + C$.$t = \sqrt{1-x^3}$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{3} \log \left| \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{1+\sqrt{1-x^3}} \right| + C$.अतः,$f(x) = \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{1+\sqrt{1-x^3}}$.$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x^3 = \frac{1}{8}$,इसलिए $1-x^3 = \frac{7}{8}$.$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1-\sqrt{7/8}}{1+\sqrt{7/8}} = \frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$.

यदि $0 < x < 1$ और $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x^5}} = \frac{1}{3} \log |f(x)| + C$ है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right) = $

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