यदि I_n = int_0^{pi / 2} sin^n(x) dx और I_n = | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \sin^{n-1}(x)$ और $dv

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n-1}{n}$

Vedclass · Answer

(B) हमें दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \sin^{n-1}(x)$ और $dv = \sin(x) dx$। तब $du = (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos(x) dx$ और $v = -\cos(x)$। $I_n = [-\sin^{n-1}(x) \cos(x)]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} (n-1) \sin^{n-2}(x) \cos^2(x) dx$। चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$ और $\sin(0) = 0$ है,इसलिए सीमा पद $0$ हो जाएगा। $I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) (1 - \sin^2(x)) dx$। $I_n = (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^{n-2}(x) dx - (n-1) \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$। $I_n = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$। $I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}$। $n I_n = (n-1) I_{n-2}$। $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$। इसकी तुलना $I_n = k I_{n-2}$ से करने पर,हमें $k = \frac{n-1}{n}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

यदि $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$ और $I_n = (k) I_{n-2}$ है,तो $k$ का मान क्या होगा?

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समाकल $\int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left\{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2\right\}^{1 / 2} d x$ का मान किसके बराबर है?

निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin ^4(x) d x=$

समाकलन $\int_{-1}^{1} \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx = $

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