જો y=y(x) એ sqrt{1-x^2} frac{dy}{dx} + frac{2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$. $\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$. $\sqrt{1-x^2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^2} y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{1-x^2}$ અને $Q(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx} = e^{-\ln(1-x^2)} = \frac{1}{1-x^2}$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે. $y \cdot \frac{1}{1-x^2} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{1}{1-x^2} dx + C = \int x(1-x^2)^{-3/2} dx + C$. ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$. $y \cdot \frac{1}{1-x^2} = -\frac{1}{2} \int u^{-3/2} du + C = -\frac{1}{2} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = u^{-1/2} + C = (1-x^2)^{-1/2} + C$. આમ,$y = (1-x^2)^{1/2} + C(1-x^2)$. $y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = (1-0)^{1/2} + C(1-0) \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$. તેથી,$y = \sqrt{1-x^2}$. $x = \frac{1}{2}$ માટે,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

જો $y=y(x)$ એ $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ નું વિશિષ્ટ ઉકેલ હોય અને $y(0)=1$ હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right) = $

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module