यदि left(frac{sqrt{3}+i}{sqrt{3}-i}right)^4+l | vedclass

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Question

(B) माना $z = \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ है। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $z = \frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2i\sqrt{3}

Vedclass · Accepted Answer

$\operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(B) माना $z = \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$ है। अंश और हर को $\sqrt{3}+i$ से गुणा करने पर,हमें $z = \frac{(\sqrt{3}+i)^2}{3+1} = \frac{3-1+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{2+2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{3}ight)$ प्राप्त होता है।अतः दिया गया व्यंजक $z^4 + (\bar{z})^4 = \operatorname{cis}\left(\frac{4\pi}{3}ight) + \operatorname{cis}\left(-\frac{4\pi}{3}ight) = 2 \cos\left(\frac{4\pi}{3}ight) = 2 \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}ight) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{3}ight) = -2 	imes \frac{1}{2} = -1$ है।इस प्रकार,$r \operatorname{cis} 	heta = -1 = 1 \cdot \operatorname{cis}(\pi)$ है।हमें $\sqrt{r \operatorname{cis} 	heta} = \sqrt{-1} = \sqrt{\operatorname{cis}(\pi)}$ ज्ञात करना है।$\operatorname{cis}(\pi)$ के वर्गमूल $k=0, 1$ के लिए $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{2}ight)$ हैं।$k=0$ के लिए,हमें $\operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{2}ight) = i$ प्राप्त होता है।$k=1$ के लिए,हमें $\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}ight) = -i$ प्राप्त होता है।विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\operatorname{cis}\left(\frac{3\pi}{2}ight)$ सही उत्तर है।

यदि $\left(\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\right)^4+\left(\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}\right)^4=r \operatorname{cis} \theta$ है,तो $\sqrt{r \operatorname{cis} \theta}$ का एक मान क्या है?

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