यदि 1, omega, omega^2 इकाई के घनमूल हैं,n in | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $(1+\omega)$,$x^n-x=0$ का मूल है। $x = 1+\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\omega)^n - (1+\omega) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $

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$7$

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(C) दिया गया है कि $(1+\omega)$,$x^n-x=0$ का मूल है। $x = 1+\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\omega)^n - (1+\omega) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$ है। समीकरण में यह मान रखने पर: $(-\omega^2)^n - (-\omega^2) = 0$. $(-1)^n \omega^{2n} + \omega^2 = 0$. $(-1)^n \omega^{2n} = -\omega^2$. इसे सत्य होने के लिए,$n$ को विषम होना चाहिए (ताकि $(-1)^n = -1$) और $\omega^{2n} = \omega^2$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $2n \equiv 2 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है $2n = 3k + 2$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। $n=3$ के लिए,$2(3) = 6 \equiv 0 \pmod{3}$ (असत्य)। $n=5$ के लिए,$2(5) = 10 \equiv 1 \pmod{3}$ (असत्य)। $n=7$ के लिए,$2(7) = 14 = 3(4) + 2 \equiv 2 \pmod{3}$ (सत्य)। अतः,$n$ का न्यूनतम मान $7$ है।

यदि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,$n \in \mathbb{N}$ और $n > 2$ है,तो $n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $1+\omega$,$x^n-x=0$ का एक मूल है।

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