यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है और (1+x)^{15} के | vedclass

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Question

(C) $(1+x)^{15}$ के विस्तार में,$x^{10}$ का गुणांक ${}^{15}C_{10}$ है।$(1-x)^{-n}$ का विस्तार $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n+1)\do

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$11$

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(C) $(1+x)^{15}$ के विस्तार में,$x^{10}$ का गुणांक ${}^{15}C_{10}$ है।$(1-x)^{-n}$ का विस्तार $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}x^r + \dots$ है।अतः,$(1-x)^{-n}$ में $x^5$ का गुणांक $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}$ है।प्रश्न के अनुसार,$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!} = {}^{15}C_{10}$ है।हम जानते हैं कि ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5} = \frac{15 	imes 14 	imes 13 	imes 12 	imes 11}{5 	imes 4 	imes 3 	imes 2 	imes 1} = 3003$ है।अतः,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 5! 	imes {}^{15}C_{5} = 120 	imes 3003 = 360360$ है।वैकल्पिक रूप से,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 11 	imes 12 	imes 13 	imes 14 	imes 15$ है।दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $n = 11$ प्राप्त होता है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x)^{15}$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक $(1-x)^{-n}$ के विस्तार में $x^5$ के गुणांक के बराबर है,तो $n=$

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