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Question

(D) दी गई श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है। योग $S_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_

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(D) दी गई श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है। योग $S_n = \sum_{r=0}^n (-1)^r (3 + 5r) { }^n C_r$ द्वारा दिया जाता है। $S_n = 3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r + 5 \sum_{r=0}^n (-1)^r r { }^n C_r$। $n > 1$ के लिए,पहला भाग $3 \sum_{r=0}^n (-1)^r { }^n C_r = 3(1 - 1)^n = 0$ है। दूसरे भाग के लिए,$r { }^n C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $5n \sum_{r=1}^n (-1)^r { }^{n-1} C_{r-1} = 5n \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k+1} { }^{n-1} C_k = -5n (1 - 1)^{n-1} = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$S_n = 0 + 0 = 0$।

यदि $n$,$1$ से बड़ा एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $3({ }^n C_0) - 8({ }^n C_1) + 13({ }^n C_2) - 18({ }^n C_3) + \ldots$ $(n+1)$ पदों तक $=$

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यदि $n \in N$ के लिए $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है,तो $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} =$

$\binom{50}{4} + \sum_{i=1}^{6} \binom{56-i}{3} = \dots$

$\binom{10}{1} + \binom{10}{2} + \binom{11}{3} + \binom{12}{4} + \binom{13}{5} = \dots$

$\binom{47}{4} + \sum_{r=1}^5 \binom{52-r}{3} = \dots$

योगफल ${C_1} + 2{C_2} + 3{C_3} + 4{C_4} + .... + n{C_n}$ का मान किसके बराबर है?

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