જો $2x - 3y + 5 = 0$ અને $4x - 5y + 7 = 0$ એ વર્તુળ પર દોરેલા અભિલંબના સમીકરણો હોય અને $(2, 5)$ એ આપેલા વર્તુળ પરનું એક બિંદુ હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

બિંદુ $(2, 2)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x + 4y + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{7}{16}\right)$ છે. જો આવા બે વર્તુળો અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય,તો $c$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે રેખાઓ $(2-i)z = (2+i)\bar{z}$ અને $(2+i)z + (i-2)\bar{z} - 4i = 0$ (જ્યાં $i^2 = -1$) એ વર્તુળ $C$ ના અભિલંબ છે. જો રેખા $iz + \bar{z} + 1 + i = 0$ એ આ વર્તુળ $C$ ને સ્પર્શક હોય,તો તેની ત્રિજ્યા શોધો.

જો સીધી રેખા $3x + 4y = k$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16x$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $ABCD$ એ $1$ એકમ લંબાઈનો ચોરસ છે. $A$ પર કેન્દ્રિત અને $1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C_{1}$ દોરવામાં આવ્યું છે. બીજું વર્તુળ $C_{2}$ જે $C_{1}$ ને સ્પર્શે છે અને રેખાઓ $AD$ અને $AB$ ને સ્પર્શક છે,તે પણ દોરવામાં આવ્યું છે. ધારો કે બિંદુ $C$ માંથી વર્તુળ $C_{2}$ પરનો સ્પર્શક બાજુ $AB$ ને $E$ માં મળે છે. જો $EB$ ની લંબાઈ $\alpha+\sqrt{3} \beta$ હોય,જ્યાં $\alpha, \beta$ પૂર્ણાંકો છે,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત......... છે.

એક વર્તુળ બિંદુઓ $(-1, 1)$,$(0, 6)$ અને $(5, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. આ વર્તુળ પરના જે બિંદુ(ઓ) આગળનો સ્પર્શક ઉગમબિંદુને તેના કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખાને સમાંતર હોય તે બિંદુ(ઓ) કયા છે?