यदि $A+B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]$ और $AB=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$ है, तो $A^2+B(A+B)=$

मान लीजिए $A$ एक ऐसा आव्यूह है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह (scalar matrix) है और $|3A| = 108$ है। तो $A^2$ किसके बराबर है?

माना $x \in R$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ और $R = PQP^{-1}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $x = 1$ के लिए,एक ऐसा इकाई सदिश $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ मौजूद है जिसके लिए $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
$(2)$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए $PQ = QP$ है।
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,सभी $x \in R$ के लिए।
$(4)$ $x = 0$ के लिए,यदि $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ है,तो $a + b = 5$ है।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं,तो $adj \,(AB)$ किसके बराबर है :-

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$ और सदिश $\vec{a} = (1, a, a^2)$,$\vec{b} = (1, b, b^2)$,और $\vec{c} = (1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\{-1, 0, 1\}$ समुच्चय के अवयवों से बने सभी $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूहों के समुच्चय में से एक आव्यूह यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो उस आव्यूह के विषम-सममित (skew-symmetric) होने की प्रायिकता क्या है?