જો int e^{-x} tan ^{-1}left(e^xright) d x = f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int e^{-x} 	an ^{-1}\left(e^xight) d x$. $e^x = t$ આદેશ લેતા, $e^x d x = d t$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $d x = \frac{1}{t} d t$. આ કિં

Vedclass · Accepted Answer

$x - e^{-x} 	an ^{-1}\left(e^xight)$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int e^{-x} 	an ^{-1}\left(e^xight) d x$. $e^x = t$ આદેશ લેતા, $e^x d x = d t$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $d x = \frac{1}{t} d t$. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{	an ^{-1} t}{t^2} d t$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા, $u = 	an ^{-1} t$ અને $dv = t^{-2} dt$ લેતા, $du = \frac{1}{1+t^2} dt$ અને $v = -\frac{1}{t}$ મળે. $I = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t - \int \left(-\frac{1}{t}ight) \frac{1}{1+t^2} d t = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t + \int \frac{1}{t(1+t^2)} d t$. આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત મુજબ, $\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$. તેથી, $I = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t + \int \left(\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}ight) d t$. $I = -\frac{1}{t} 	an ^{-1} t + \log |t| - \frac{1}{2} \log (1+t^2) + C$. $t = e^x$ પાછું મૂકતા: $I = -e^{-x} 	an ^{-1} (e^x) + \log (e^x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$. $\log (e^x) = x$ હોવાથી, $I = -e^{-x} 	an ^{-1} (e^x) + x - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$. આપેલ પદ $f(x) - \frac{1}{2} \log (1+e^{2x}) + C$ સાથે સરખાવતા, $f(x) = x - e^{-x} 	an ^{-1} (e^x)$ મળે છે.

જો $\int e^{-x} \tan ^{-1}\left(e^x\right) d x = f(x) - \frac{1}{2} \log \left(1+e^{2 x}\right) + C$ હોય, તો $f(x)$ ની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

$\int \frac{2+\cos \frac{x}{2}}{x+\sin \frac{x}{2}} \,d x=$

$\int \frac{\csc^2 x}{1 + \cot x} dx = $

$\int \frac{d x}{x\left(x^4+1\right)}=$

જો $\int \frac{(x-1) dx}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} = f(x) + C$ હોય, તો $f(1) =$

$\int 2x \cos^3(x^2) \sin(x^2) \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module