यदि f(x) = int frac{16x^7 + 5x^{10}}{(x^3 + 2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{16x^7 + 5x^{10}}{(x^3 + 2 + 3x^8)^2} dx$। अंश और हर को $x^{16}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \int \frac{16x^{-9} + 5

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$\frac{7}{6}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int \frac{16x^7 + 5x^{10}}{(x^3 + 2 + 3x^8)^2} dx$। अंश और हर को $x^{16}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \int \frac{16x^{-9} + 5x^{-6}}{(x^{-5} + 2x^{-8} + 3)^2} dx$। मान लीजिए $u = x^{-5} + 2x^{-8} + 3$। तब $du = (-5x^{-6} - 16x^{-9}) dx$, जिसका अर्थ है $-du = (16x^{-9} + 5x^{-6}) dx$। इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = \int -u^{-2} du = u^{-1} + C = \frac{1}{x^{-5} + 2x^{-8} + 3} + C = \frac{x^8}{1 + 2x^5 + 3x^8} + C$। दिया गया है $f(0) = 1$, इसलिए $1 = \frac{0}{1} + C$, जिसका अर्थ है $C = 1$। अतः, $f(x) = \frac{x^8}{1 + 2x^5 + 3x^8} + 1$। $f(1)$ के लिए, $f(1) = \frac{1}{1 + 2 + 3} + 1 = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}$।

यदि $f(x) = \int \frac{16x^7 + 5x^{10}}{(x^3 + 2 + 3x^8)^2} dx$ जहाँ $x \geq 0$ और $f(0) = 1$ है, तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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