यदि int e^x left( frac{1 - sin x}{1 - cos x} | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ दिया गया है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos

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$-e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ दिया गया है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$ माना $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$ है। तब $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ होगा। चूंकि समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ के रूप में है, इसलिए: $I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$. अतः, $f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$।

यदि $\int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx = f(x) + \text{constant}$ है, तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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