જો $e^{\sin x}-e^{-\sin x}-4=0$ હોય, તો $x$ ની વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

સમીકરણોની પ્રણાલી: $2x \cos^2 \theta + y \sin 2\theta - 2 \sin \theta = 0$,$x \sin 2\theta + 2y \sin^2 \theta = -2 \cos \theta$,અને $x \sin \theta - y \cos \theta = 0$,$\theta$ ના તમામ મૂલ્યો માટે,શું કરી શકે છે:

$n > 2$ માટે તમામ શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા શોધો જેથી $\sin \frac{\pi}{2n} + \cos \frac{\pi}{2n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$ થાય.

ધારો કે $a \in \mathbb{R}$ નો એવો ગણ કે જેના માટે સમીકરણ $\cos 2x + a \sin x = 2a - 7$ નો ઉકેલ $[p, q]$ હોય અને $r = \tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \frac{1}{\cot 63^{\circ}} + \tan 81^{\circ}$ હોય,તો $pqr$ ની કિંમત .................... થાય.

જો $\cos x + \cos^2 x = 1$ હોય,તો $\sin^2 x + \sin^4 x$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $\tan \alpha = \frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$ $(x \ne 0, 1)$,જ્યાં $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $\tan(\alpha + \beta)$ ની કિંમત કેટલી થાય?