यदि f: R rightarrow R को f(x)=e^{x} द्वारा पर | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = e^{x}$ और $g: R \rightarrow R$ जहाँ $g(x) = x^{2}$ है।हम संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e

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$g \circ f$ इंजेक्टिव है लेकिन $g$ बाइजेक्टिव नहीं है

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(C) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = e^{x}$ और $g: R \rightarrow R$ जहाँ $g(x) = x^{2}$ है।हम संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^{x}) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$ की गणना करते हैं।$(g \circ f)(x) = e^{2x}$ के लिए, यदि $(g \circ f)(x_{1}) = (g \circ f)(x_{2})$ है, तो $e^{2x_{1}} = e^{2x_{2}}$, जिसका अर्थ है $2x_{1} = 2x_{2}$, इसलिए $x_{1} = x_{2}$। अतः, $g \circ f$ इंजेक्टिव है।हालाँकि, $g \circ f$ का परिसर $(0, \infty)$ है, जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है, इसलिए $g \circ f$ सर्जेक्टिव नहीं है।$g(x) = x^{2}$ के लिए, $g(-1) = 1$ और $g(1) = 1$, इसलिए $g$ इंजेक्टिव नहीं है। इसके अलावा, $g$ का परिसर $[0, \infty)$ है, इसलिए $g$ सर्जेक्टिव नहीं है।इसलिए, $g \circ f$ इंजेक्टिव है लेकिन $g$ बाइजेक्टिव नहीं है।

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