यदि $\vec{\alpha} = 3\hat{i} - \hat{k}$, $|\vec{\beta}| = \sqrt{5}$, और $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3$ है, तो उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ हैं।

मान लीजिए $\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{w} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

बिंदुओं $P(1, -1, 3)$ और $Q(2, -4, 11)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का,बिंदुओं $A(-1, 2, 3)$ और $B(3, -2, 10)$ को जोड़ने वाली रेखा पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ पर विचार करें:
अभिकथन $(A)$: दो रेखाएँ $\bar{r}=\bar{a}+t(\bar{b})$ और $\bar{r}=\bar{b}+s(\bar{a})$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
कारण $(R)$: रेखाओं $\bar{r}=\bar{p}+t(\bar{q})$ और $\bar{r}=\bar{c}+s(\bar{d})$ के बीच की न्यूनतम दूरी, सदिश $(\bar{p}-\bar{c})$ का $(\bar{q} \times \bar{d})$ पर प्रक्षेप की लंबाई के बराबर होती है।
सही उत्तर है:

यदि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है,तो $a$ किसके बराबर है?

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ है,तो $3a + 4b + 12c$ का अधिकतम संभव मान क्या होगा? (जहाँ $a, b, c \in \mathbb{R}$)-