यदि int frac{3e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{3e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx$ है। अंश को $A(4e^x - 5e^{-x}) + B(4e^x + 5e^{-x})$ के रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ $4e^x

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$p = -1/8, q = 7/8$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{3e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx$ है। अंश को $A(4e^x - 5e^{-x}) + B(4e^x + 5e^{-x})$ के रूप में व्यक्त करते हैं, जहाँ $4e^x - 5e^{-x}$ हर $4e^x + 5e^{-x}$ का अवकलन है। $e^x$ और $e^{-x}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $4A + 4B = 3$ $-5A + 5B = -5$ दूसरे समीकरण से, $-A + B = -1$, अतः $B = A - 1$। पहले समीकरण में मान रखने पर: $4A + 4(A - 1) = 3 \implies 8A - 4 = 3 \implies 8A = 7 \implies A = 7/8$। तब $B = 7/8 - 1 = -1/8$। अतः, $I = \int \frac{7/8(4e^x - 5e^{-x}) - 1/8(4e^x + 5e^{-x})}{4e^x + 5e^{-x}} dx$। $I = 7/8 \int \frac{4e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx - 1/8 \int 1 dx$। $I = 7/8 \log |4e^x + 5e^{-x}| - 1/8 x + C$। $px + q \log |4e^x + 5e^{-x}| + C$ से तुलना करने पर, हमें $p = -1/8$ और $q = 7/8$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{3e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx = px + q \cdot \log |4e^x + 5e^{-x}| + C$ है, तो

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