यदि x = sin(t), y = cos(pt), तो (1 - x^2) fra | vedclass

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Question

(A) दिया है $x = \sin(t)$, अतः $\frac{dx}{dt} = \cos(t)$।दिया है $y = \cos(pt)$, अतः $\frac{dy}{dt} = -p \sin(pt)$।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग

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$-p^2y$

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(A) दिया है $x = \sin(t)$, अतः $\frac{dx}{dt} = \cos(t)$।दिया है $y = \cos(pt)$, अतः $\frac{dy}{dt} = -p \sin(pt)$।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin(pt)}{\cos(t)}$।चूँकि $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$, हमारे पास $\frac{dy}{dx} = \frac{-p \sin(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$ है।अतः, $\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = -p \sin(pt)$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} \right) = -p^2 \cos(pt) \frac{dt}{dx}$।चूँकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, हमें प्राप्त होता है:$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \frac{dy}{dx} = -p^2 \frac{\cos(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$।पूरे समीकरण को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -p^2 \cos(pt) = -p^2 y$।

यदि $x = \sin(t)$, $y = \cos(pt)$, तो $(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = $

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