यदि x^m + y^m = k जहाँ (m neq 1) और frac{d^2y | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $x^m + y^m = k$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$mx^{m-1} + my^{m-1} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}

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$3$

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(C) दिया गया है $x^m + y^m = k$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$mx^{m-1} + my^{m-1} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}$।भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left[ \frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-1} - x^{m-1}(m-1)y^{m-2} \frac{dy}{dx}}{(y^{m-1})^2} ight]$।$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left[ \frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-1} - x^{m-1}(m-1)y^{m-2} (-\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}})}{y^{2m-2}} ight] = -\frac{(m-1)x^{m-2}y^{2m-2} + (m-1)x^{2m-2}y^{m-2}}{y^{3m-3}}$।यह सरल होकर $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-2}(y^m + x^m)}{y^{3m-3}} = -\frac{(m-1)x^{m-2}k}{y^{2m-1}}$ हो जाता है।$\frac{ax^b}{y^c}$ से तुलना करने पर, $a = -k(m-1)$, $b = m-2$, $c = 2m-1$ प्राप्त होता है।दिया है $a + b + c = 0$, अतः $-k(m-1) + (m-2) + (2m-1) = 0$।$-k(m-1) + 3m - 3 = 0 \implies -k(m-1) + 3(m-1) = 0$।चूंकि $m 
eq 1$, $(m-1)$ से भाग देने पर $-k + 3 = 0$, अतः $k = 3$।

यदि $x^m + y^m = k$ जहाँ $(m \neq 1)$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{ax^b}{y^c}$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 0$, तो $k$ का मान है...

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