यदि int_{sin x}^1 {{t^2}f(t);dt = 1 - sin x} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt = 1 - \sin x$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते

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(A) दिया गया समीकरण: $\int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt = 1 - \sin x$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए): $\frac{d}{dx} \left( \int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt ight) = \frac{d}{dx} (1 - \sin x)$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int_{g(x)}^a h(t) dt$ का अवकलज $-h(g(x)) \cdot g'(x)$ होता है। अतः,$-(\sin x)^2 f(\sin x) \cdot \cos x = -\cos x$। चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $\cos x 
eq 0$,अतः दोनों पक्षों को $-\cos x$ से विभाजित करने पर: $(\sin x)^2 f(\sin x) = 1$। इस प्रकार,$f(\sin x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ प्राप्त होता है। अतः,$f(t) = \frac{1}{t^2}$। परिणामस्वरूप,$f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} ight) = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1/3} = 3$।

यदि $\int_{\sin x}^1 {{t^2}f(t)\;dt = 1 - \sin x} $,$x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ है,तो $f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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