यदि $a \in R$ और समीकरण $-3(x - [x])^2 + 2(x - [x]) + a^2 = 0$ (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है) का कोई पूर्णांक हल नहीं है,तो $a$ के सभी संभावित मान किस अंतराल में स्थित हैं?

यदि $x$ वास्तविक है और $k = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$ है,तो

$f(x)$ एक द्विघात व्यंजक है,इस प्रकार कि $f(x)$ तब ऋणात्मक है जब $x \in \left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ और धनात्मक है जब $x \in \left(-\frac{5}{3}, 3\right)$। $g(x)$ एक अन्य द्विघात व्यंजक है,इस प्रकार कि $g(x)$ तब ऋणात्मक है जब $x \in \left(3, \frac{9}{2}\right)$ और धनात्मक है जब $x \in \mathbb{R} - \left[3, \frac{9}{2}\right]$। तब,$[0, 5]$ में $f(x)g(x)$ का चिह्न क्या होगा?

मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}-4 \lambda x+5=0$ के मूल हैं और $\alpha, \gamma$ समीकरण $x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+7+3 \lambda \sqrt{3}=0$ के मूल हैं। यदि $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$ है,तो $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ है,तो $k$ किस अंतराल में है?

किस शर्त के लिए व्यंजक $a^2x^2 + bx + 1$ सभी $x \in R$ के लिए धनात्मक होगा?