यदि sin ^{-1}left(frac{x}{5}right) + csc ^{-1 | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$ हम जानते हैं कि $\csc ^{-1}(z) = \sin ^

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$3$

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(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}ight) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}ight) = \frac{\pi}{2}$ हम जानते हैं कि $\csc ^{-1}(z) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{z}ight)$। इसलिए,$\csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}ight) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight)$। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}ight) + \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight) = \frac{\pi}{2}$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}ight) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight)$ सर्वसमिका $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight)$। अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}ight) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight)$। $x$ का मान ज्ञात करने के लिए,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}ight)$ को $\sin ^{-1}$ में बदलें। चूँकि $\cos 	heta = \frac{4}{5}$,सम्मुख भुजा $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है,इसलिए $\sin 	heta = \frac{3}{5}$। इस प्रकार,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}ight) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}ight)$। तुलना करने पर,$\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।

यदि $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$ है,तो $x = $

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मान लीजिए $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2^{2r+1} + 3^{2r+1}}\right)$. तो $\lim_{k \rightarrow \infty} S_{k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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