यदि $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = \lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा $w \cdot(u \times v)$ के बराबर नहीं है?

यदि सदिश $\vec x = 3i - 6j - k$,$\vec y = i + 4j - 3k$ और $\vec z = 3i - 4j - 12k$ दिए गए हैं,तो सदिश $\vec x \times \vec y$ का सदिश $\vec z$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $2i - j + k$,$i + 2j - 3k$ और $3i + aj + 5k$ समतलीय हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का अधिकतम आयतन (घन इकाइयों में) क्या होगा, जिसके सह-आश्रित किनारे सदिश $\vec{u} = 2a\hat{i} + \hat{k}$, $\vec{v} = a\hat{j} - a\hat{k}$, और $\vec{w} = 3\hat{i} + a\hat{j}$ हैं, जहाँ $a \in [0, 1]$ है?

मान लीजिए $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ तीन सदिश हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है। यदि $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, 2)$ समतल $3x + 3y - z + l = 0$ पर स्थित है,तो $l$ का मान ज्ञात कीजिए।