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Question

(A) माना $u = h(x)$ है। तब $du = h'(x) \, dx$ होगा।जब $x = a$,तब $u = h(a)$। जब $x = b$,तब $u = h(b)$।समाकलन $\int_{h(a)}^{h(b)} [f(g(u))]^{-1} f'(g(u

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$0$

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(A) माना $u = h(x)$ है। तब $du = h'(x) \, dx$ होगा।जब $x = a$,तब $u = h(a)$। जब $x = b$,तब $u = h(b)$।समाकलन $\int_{h(a)}^{h(b)} [f(g(u))]^{-1} f'(g(u)) g'(u) \, du$ बन जाता है।माना $v = g(u)$ है। तब $dv = g'(u) \, du$ होगा।जब $u = h(a)$,तब $v = g(h(a))$। जब $u = h(b)$,तब $v = g(h(b))$।समाकलन $\int_{g(h(a))}^{g(h(b))} [f(v)]^{-1} f'(v) \, dv$ बन जाता है।यह $\int_{g(h(a))}^{g(h(b))} \frac{f'(v)}{f(v)} \, dv = [\ln|f(v)|]_{g(h(a))}^{g(h(b))}$ है।चूंकि $h(a) = h(b)$,इसलिए ऊपरी और निचली सीमाएं समान हैं: $g(h(a)) = g(h(b))$।अतः,समाकलन का मान $0$ है।

यदि $h(a) = h(b)$ है,तो समाकलन $\int_a^b {[f(g(h(x)))]^{-1} f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \, dx} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^5-x^3 \cos x+\sin^3 x-3) \, dx = $ . . . . . .

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{e^{x^2}}{e^{x^2} + e^{(\pi /2 - x)^2}} dx$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तो $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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