यदि A घात 2 का एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्य | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $A$ घात $2$ का एक शून्यंभावी आव्यूह है,इसलिए $A^{2} = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।चूँकि $A^{2} = O$,इसलिए $n \geq 2$ के लिए $A^{n}

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$A$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $A$ घात $2$ का एक शून्यंभावी आव्यूह है,इसलिए $A^{2} = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।चूँकि $A^{2} = O$,इसलिए $n \geq 2$ के लिए $A^{n} = O$ होगा।$(I_2+A)^{51}$ के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:$(I_2+A)^{51} = \binom{51}{0} I_2^{51} + \binom{51}{1} I_2^{50} A + \binom{51}{2} I_2^{49} A^{2} + \dots + \binom{51}{51} A^{51}$।चूँकि $A^{2} = O$,इसलिए $k \geq 2$ के लिए $A^{k}$ वाले सभी पद $O$ हो जाएंगे।अतः,$(I_2+A)^{51} = I_2 + 51A$।अब,इसे $A$ से गुणा करने पर:$A(I_2+A)^{51} = A(I_2 + 51A) = AI_2 + 51A^{2}$।चूँकि $AI_2 = A$ और $A^{2} = O$,हमें प्राप्त होता है:$A(I_2+A)^{51} = A + 51(O) = A$।

यदि $A$ घात $2$ का एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है,तो $A(I_2+A)^{51}$ का मान क्या होगा? (जहाँ $I_2$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है)

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