यदि f(x) = x + e^x है,तो f^{-1}(x),x = 1 और x | vedclass

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Question

(B) माना $y = f(x) = x + e^x$ है। हमें $x=1$ से $x=1+e$ तक $f^{-1}(x)$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।यह क्षेत्रफल $\int_{1}^{

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$\frac{3}{2}$

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(B) माना $y = f(x) = x + e^x$ है। हमें $x=1$ से $x=1+e$ तक $f^{-1}(x)$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।यह क्षेत्रफल $\int_{1}^{1+e} f^{-1}(x) dx$ के बराबर है।प्रतिलोम फलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यह क्षेत्रफल $\int_{f^{-1}(1)}^{f^{-1}(1+e)} x f'(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ $f(x) = x + e^x$ के लिए,$f(0) = 0 + e^0 = 1$ और $f(1) = 1 + e^1 = 1+e$ है।अतः,क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} x (1 + e^x) dx$ होगा।$= \int_{0}^{1} x dx + \int_{0}^{1} x e^x dx$.$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ x e^x - e^x \right]_{0}^{1}$.$= (\frac{1}{2} - 0) + ((1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0))$.$= \frac{1}{2} + (0 - (-1)) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ $sq. units$.

यदि $f(x) = x + e^x$ है,तो $f^{-1}(x)$,$x = 1$ और $x = 1 + e$ रेखाओं तथा $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ($sq. units$ में) ज्ञात कीजिए:

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