यदि sin theta = frac{1}{2} left( sqrt{frac{x} | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात् $\frac{a+

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$x = y$

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(A) हम जानते हैं कि किन्हीं भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात् $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.माना $a = \sqrt{\frac{x}{y}}$ और $b = \sqrt{\frac{y}{x}}$.तब $\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} ight) \ge \sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}}} = \sqrt{1} = 1$.चूंकि $\sin 	heta = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} ight)$ और हम जानते हैं कि सभी $	heta \in \mathbb{R}$ के लिए $\sin 	heta \le 1$,इसलिए व्यंजक का एकमात्र संभावित मान $1$ है।अतः,$\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} ight) = 1$.इसका अर्थ है $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 2$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2$ हो जाता है।$xy$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + y^2 = 2xy$ प्राप्त होता है,या $(x-y)^2 = 0$.अतः,$x = y$.

यदि $\sin \theta = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right)$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R} - \{0\}$. तो:

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