જો એક રેખા ઘનના ચાર વિકર્ણો સાથે alpha, beta, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે ઘનની બાજુ $a$ છે. શિરોબિંદુઓના યામ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ છે.ઘનના ચાર વિકર્ણો એ સામસામેન

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{3}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે ઘનની બાજુ $a$ છે. શિરોબિંદુઓના યામ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ છે.ઘનના ચાર વિકર્ણો એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ છે. ધારો કે તે $d_1, d_2, d_3, d_4$ છે.આ વિકર્ણોના દિક્-ગુણોત્તરો $(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1)$ છે.ધારો કે આપેલી રેખાના દિક્-કોસાઇન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.દિક્-કોસાઇન $(l, m, n)$ વાળી રેખા અને દિક્-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ વાળી રેખા વચ્ચેના ખૂણા $	heta$ નો કોસાઇન $\cos 	heta = \frac{|l a_1 + m b_1 + n c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$ દ્વારા મળે છે.ચાર વિકર્ણો માટે,ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ નીચે મુજબ મળે:$\cos \alpha = \frac{l+m+n}{\sqrt{3}}$,$\cos \beta = \frac{l+m-n}{\sqrt{3}}$,$\cos \gamma = \frac{l-m+n}{\sqrt{3}}$,$\cos \delta = \frac{-l+m+n}{\sqrt{3}}$.તેમનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta = \frac{1}{3} [(l+m+n)^2 + (l+m-n)^2 + (l-m+n)^2 + (-l+m+n)^2]$$= \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ]$કારણ કે $l^2+m^2+n^2 = 1$,તેથી સરવાળો $\frac{4}{3} 	imes 1 = \frac{4}{3}$ થાય.

જો એક રેખા ઘનના ચાર વિકર્ણો સાથે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ ખૂણા બનાવે,તો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + \cos^2 \delta$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

બિંદુ $(1, 6, 3)$ નું રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$ માં પ્રતિબિંબ શોધો.

નિયમિત ચતુષ્ફલક (regular tetrahedron) ની એક ધાર તેના કેન્દ્ર પર કેટલો ખૂણો આંતરે છે?

એક સમઘનની ધારની લંબાઈ $a$ છે. તો સમઘનના વિકર્ણ અને તેની સાથે ત્રાંસી (skew) ધાર વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module