यदि आव्यूह D_1 = operatorname{diag}(a, b, c), | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 	imes 3$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसके विकर्ण अवयव शून्य हैं,अर्थात $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.मान ल

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$2a + 2b + 2c - 9$

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(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 	imes 3$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसके विकर्ण अवयव शून्य हैं,अर्थात $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.मान लीजिए $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$ और $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3) = 3I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।आव्यूह का ट्रेस (Trace) उसके विकर्ण अवयवों का योग होता है।किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,एक विकर्ण आव्यूह $D$ और $A$ का गुणनफल $(DA)$ एक ऐसा आव्यूह देता है जिसके विकर्ण अवयव $d_{ii} 	imes a_{ii}$ होते हैं। चूँकि $a_{ii} = 0$,इसलिए $DA$ के विकर्ण अवयव $0$ होते हैं।अतः,$\operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,$\operatorname{diag}(D_1 A) = (0, 0, 0)$,और $\operatorname{diag}(D_2 A) = (0, 0, 0)$।अब,ट्रेस के अंदर के व्यंजक पर विचार करें: $M = D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A$।$M$ के विकर्ण अवयव $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) + \operatorname{diag}(D_1 A) + \operatorname{diag}(D_2 A) + \operatorname{diag}(D_1 D_2 A)$ हैं।चूँकि $\operatorname{diag}(D_1 A) = \operatorname{diag}(D_2 A) = \operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,इसलिए $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) = (3a, 3b, 3c)$।अतः,$\operatorname{Tr}(M) = 3a + 3b + 3c$।हमें $\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2)$ की गणना करनी है।$\operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (a+3) + (b+3) + (c+3) = a + b + c + 9$।अंत में,$\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (3a + 3b + 3c) - (a + b + c + 9) = 2a + 2b + 2c - 9$।

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ मान लीजिए $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ बराबर है	$1. \ 1$
$Q.$ मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_n(n>2)$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए $\vec{a}_k$ बिंदु $A_k, k=1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश है। यदि $\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}\right)\right\|=\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}\right)\right\|$,तो $n$ का न्यूनतम मान है	$2. \ 2$
$R.$ यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिंदु $P(h, 1)$ से अभिलंब रेखा $x+y=8$ के लंबवत है,तो $h$ का मान है	$3. \ 8$
$S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है	$4. \ 9$

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