यदि रेखा x = frac{y-1}{2} = frac{z-3}{lambda} | vedclass

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Question

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ है।समतल

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$\frac{2}{3}$

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(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ है।समतल $x + 2y + 3z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।माना रेखा और समतल के बीच का कोण $	heta$ है। तब $\sin 	heta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ होता है।दिया है $	heta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\cos 	heta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.अतः,$\sin 	heta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.$\sin 	heta$ के लिए सूत्र $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$ है।दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.$30\lambda = 20$.$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

यदि रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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