यदि दो भिन्न बिंदु Q और R समतलों -x + 2y - z | vedclass

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Question

(B) समतलों $-x + 2y - z = 0$ और $3x - 5y + 2z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 2 &

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$\frac{4}{3} \sqrt{38}$

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(B) समतलों $-x + 2y - z = 0$ और $3x - 5y + 2z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 2 & -1 \ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ है।अतः,रेखा के दिक् अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।माना $T$ रेखा पर $P(1, -2, 3)$ का प्रक्षेप है। रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(\alpha, \alpha, \alpha)$ हैं।सदिश $\vec{PT} = (\alpha - 1, \alpha + 2, \alpha - 3)$ है।चूंकि $\vec{PT}$ रेखा $(1, 1, 1)$ के लंबवत है,इसलिए $1(\alpha - 1) + 1(\alpha + 2) + 1(\alpha - 3) = 0$,जिससे $3\alpha - 2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \frac{2}{3}$।बिंदु $T$ $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ है।$PT^2 = (\frac{2}{3} - 1)^2 + (\frac{2}{3} + 2)^2 + (\frac{2}{3} - 3)^2 = \frac{1 + 64 + 49}{9} = \frac{114}{9} = \frac{38}{3}$।$	riangle PQT$ में,$\cos 	heta = \frac{PT}{PQ} = \frac{\sqrt{38/3}}{\sqrt{18}} = \sqrt{\frac{19}{27}}$।तब $\sin 	heta = \sqrt{1 - \frac{19}{27}} = \sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$।$	riangle PQR$ का क्षेत्रफल $= 2 	imes 	ext{Area}(	riangle PQT) = PT 	imes (PQ \sin 	heta) = \sqrt{\frac{38}{3}} 	imes \sqrt{18} 	imes \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \sqrt{38}$।

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रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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