यदि वक्रों के परिवार y=ax+frac{1}{a} (जहाँ a | vedclass

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Question

(B) वक्रों का दिया गया परिवार $y=ax+\frac{1}{a}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx}=a$ प्राप्त होता है।$a=\frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण में

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$y^2=3x$

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(B) वक्रों का दिया गया परिवार $y=ax+\frac{1}{a}$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx}=a$ प्राप्त होता है।$a=\frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$y=x\left(\frac{dy}{dx}\right)+\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ प्राप्त होता है।$\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,$y\left(\frac{dy}{dx}\right)=x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+1$ प्राप्त होता है,जो $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\left(\frac{dy}{dx}\right)+1=0$ है।इस अवकल समीकरण की कोटि $m=1$ और घात $r=2$ है।अतः,$r+m = 2+1 = 3$ है।दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}$ है।चरों को पृथक करने पर,$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y|=\frac{1}{2}\ln|x|+C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2=kx$।प्रतिबंध $y(1)=\sqrt{r+m}=\sqrt{3}$ का उपयोग करने पर,$(\sqrt{3})^2=k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=3$ है।अतः,हल $y^2=3x$ है।

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