જો $(4, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્રમાણિત અતિવલય (hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $2$ હોય,તો $(4, 6)$ આગળ અતિવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

રેખાઓ $\sqrt{3}x - y - 4\sqrt{3}t = 0$ અને $\sqrt{3}tx + ty - 4\sqrt{3} = 0$ (જ્યાં $t$ એક પ્રાચલ છે) ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એક અતિવલય છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

ધારો કે $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ એક અતિવલય છે જેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ છે અને તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{8}{3}$ છે. જો રેખા $x = k$ અતિવલય $H$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે જેથી ત્રિકોણ $AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{15}$ થાય, જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે, તો $a^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$

$P(6, 3)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક બિંદુ છે. જો બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ $x$-અક્ષને $(10, 0)$ માં છેદે,તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $P (3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ અને $Q (3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,એ અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે ભિન્ન બિંદુઓ છે. તો $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો $y$-યામ (ordinate) શોધો.