यदि बिंदु $(4, 6)$ से गुजरने वाले मानक अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) $2$ है,तो $(4, 6)$ पर अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि रेखा $5x - 2y - 6 = 0$,अतिपरवलय $5x^2 - ky^2 = 12$ की स्पर्श रेखा है,तो इस अतिपरवलय के बिंदु $(\sqrt{6}, p)$ (जहाँ $p < 0$) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ की $m$ प्रवणता वाली समांतर जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ है

एक आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2, a > 0$ पर,तीन बिंदु $A, B, C$ इस प्रकार लिए गए हैं: $A=(-a, 0)$; $B$ और $C$ को $X$-अक्ष के सापेक्ष अतिपरवलय की उस शाखा पर सममित रूप से रखा गया है जिसमें $A$ शामिल नहीं है। मान लीजिए कि $\triangle ABC$ समबाहु है। यदि $\triangle ABC$ की भुजा की लंबाई $ka$ है,तो $k$ किस अंतराल में स्थित है?

अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-164=0$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ और उसकी नाभियों द्वारा निर्मित त्रिभुज के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए:

समीकरण $3x^2 + 7xy + 2y^2 + 5x + 5y + 2 = 0$ क्या दर्शाता है?