यदि समीकरण 2 operatorname{Cot}^{-1}(x^2+2x+k) | vedclass

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Question

(D) माना $u = x^2 + 2x + k$ है। समीकरण $2 \operatorname{Cot}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ बन जाता है।सर्वसमिका $\operatorname{Cot}^{-

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$(-\infty, 1)$

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(D) माना $u = x^2 + 2x + k$ है। समीकरण $2 \operatorname{Cot}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ बन जाता है।सर्वसमिका $\operatorname{Cot}^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर:$2(\frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$$\pi - 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$$\operatorname{Tan}^{-1}(u) = 0$,जिसका अर्थ है $u = 0$ है।अतः,$x^2 + 2x + k = 0$ है।इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक हल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k$ है।$D > 0$ रखने पर,$4 - 4k > 0$,जो सरल होकर $4 > 4k$ या $k अतः,$k \in (-\infty, 1)$ है।

यदि समीकरण $2 \operatorname{Cot}^{-1}(x^2+2x+k) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(x^2+2x+k)$ के दो भिन्न वास्तविक हल हैं,तो $k$ के सभी मान किस अंतराल में स्थित हैं?

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