જો સમતલો $2x - y + z = 3$ અને $4x - 3y + 5z + 9 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતું અને રેખા $\frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 2}{5}$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + 6 = 0$ હોય,તો $a + b + c$ ની કિંમત $.............$ થાય.

જો રેખા $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ અને સમતલ $2x-y+\sqrt{\lambda}z+4=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એવો હોય કે જેથી $\sin \theta=\frac{1}{3}$ થાય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(7, -2, 13)$ માંથી $\frac{x+1}{6} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-3}{8}$ અને $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-3}{7}$ રેખાઓ ધરાવતા સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો $(PQ)^{2}$ ની કિંમત ..... છે.

રેખા $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 8$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે

ધારો કે $S$ એ બિંદુ $Q$ નું સમતલ $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે,જ્યાં $t, p$ વાસ્તવિક પ્રાચલો છે અને $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ એ ત્રણ ધન અક્ષો પરના એકમ સદિશો છે. જો $Q$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$

જેનો સ્થાન સદિશ $(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ છે તે બિંદુનું સમતલ $r \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=4$ થી અંતર કેટલું છે?