यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

Question

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a

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$a, b, c$ $HP$ में हैं

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(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।सारणिक इस प्रकार है:$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \ 1 & 3b & b \ 1 & 2c & c\end{array}ight|=0$प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$व्यंजक को सरल करने पर:$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$$bc + ab = 2ac$दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b, c 
eq 0$):$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं, जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ $HP$ में हैं।

यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो
$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$

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माना $A=\begin{bmatrix} 2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2p & 8+3p+2q \\ 6 & 12+3p & 20+6p+3q \end{bmatrix}$ है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3A)))=2^m \cdot 3^n$,जहाँ $m, n \in N$,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

सारणिक $ \left|\begin{array}{ccc}a-b & b+c & a \\ b-c & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{array}\right| $ का मान है

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यदि निम्नलिखित तीन रैखिक समीकरणों का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है, तो$x+4ay+az=0$$x+3by+bz=0$$x+2cy+cz=0$

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माना $A=\begin{bmatrix} 2 & 2+p & 2+p+q \\ 4 & 6+2p & 8+3p+2q \\ 6 & 12+3p & 20+6p+3q \end{bmatrix}$ है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(3A)))=2^m \cdot 3^n$,जहाँ $m, n \in N$,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$x+4ay+az=0$
$x+3by+bz=0$
$x+2cy+cz=0$