જો વિધેય $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ એ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે, તો $f'(x) = 0$ નું એક બીજ શું છે?

અંતરાલ $[a, b]$ માં વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4$ છે.

જો વિધેય $f(x)=x^3+ax^2+bx+40$ એ અંતરાલ $[-5,4]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $-5,4$ એ સમીકરણ $f(x)=0$ ના બે બીજ છે, તો તે પ્રમેયમાં જણાવ્યા મુજબ $c$ ની કિંમતોમાંની એક કિંમત છે

જો બહુપદી સમીકરણ $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે,તેના બે ભિન્ન બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો સમીકરણ $na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ ને $(\alpha, \beta)$ અંતરાલમાં કેટલા બીજ હોય?

જો $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ એ રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે અને $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ થાય,તો $a$ અને $b$ શોધો.

જો $x \in [0, 4]$ માટે $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ હોય,તો લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરતું $c \in (0, 4)$ નું મૂલ્ય શોધો.