यदि फलन f(x) = x(x+3)e^{-x/2} अंतराल [-3, 0] | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ है।चूंकि $f(x)$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है, इसलिए कम से कम एक $c \in (-3, 0)$ ऐसा

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$-2$

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(C) दिया गया फलन $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ है।चूंकि $f(x)$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है, इसलिए कम से कम एक $c \in (-3, 0)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।सबसे पहले, गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}[x(x+3)] \cdot e^{-x/2} + x(x+3) \cdot \frac{d}{dx}[e^{-x/2}]$$f'(x) = (2x+3)e^{-x/2} + (x^2+3x) \cdot \left(-\frac{1}{2}ight)e^{-x/2}$$f'(x) = e^{-x/2} \left[ 2x+3 - \frac{x^2+3x}{2} ight]$$f'(x) = e^{-x/2} \left[ \frac{4x+6-x^2-3x}{2} ight] = \frac{-x^2+x+6}{2} e^{-x/2}$$f'(x) = 0$ रखने पर:$\frac{-(x^2-x-6)}{2} e^{-x/2} = 0$चूंकि $e^{-x/2} 
eq 0$, इसलिए $x^2-x-6 = 0$ प्राप्त होता है।$(x-3)(x+2) = 0$अतः, $x = 3$ या $x = -2$ है।चूंकि मूल को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए, इसलिए मान्य मूल $x = -2$ है।

यदि फलन $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है, तो $f'(x) = 0$ का एक मूल क्या है?

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मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

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