यदि मूलबिंदु वृत्त $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ के एक व्यास पर स्थित है,तो उस व्यास के अंतिम बिंदुओं और बिंदु $(1,2)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

माना $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाला $1$ त्रिज्या का वृत्त है। माना $C_2$ बिंदु $A=(4,1)$ पर केंद्र वाला $r$ त्रिज्या का वृत्त है,जहाँ $1 < r < 3$ है। $C_1$ और $C_2$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $ST$ खींची गई हैं। स्पर्श रेखा $PQ$,$C_1$ को $P$ पर और $C_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा $ST$,$C_1$ को $S$ पर और $C_2$ को $T$ पर स्पर्श करती है। रेखाखंड $PQ$ और $ST$ के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलती है। यदि $AB=\sqrt{5}$ है,तो $r^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्तों $x^2+y^2+4x=0$ और $x^2+y^2-2x=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं (common tangents) की संख्या है

$x^2+y^2-14x+6y+33=0$ द्वारा दिया गया वृत्त $S$,$X$-अक्ष को $A$ और $B$ $(OB > OA)$ पर काटता है। $C$,$AB$ का मध्यबिंदु है। $L$,$C$ से गुजरने वाली और $(-1)$ ढाल वाली एक रेखा है। यदि $L$,वृत्त $S^{\prime}$ का व्यास है और वृत्तों $S$ और $S^{\prime}$ की रेडिकल अक्ष भी है,तो वृत्त $S^{\prime}$ का समीकरण क्या है?

यदि वृत्त $x^2+y^2+8x-4y+c=0$,वृत्त $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है और वृत्त $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ को लंबकोणीय काटता है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-8x-8y+28=0$ और $x^2+y^2-8x-6y+25-\alpha^2=0$ की केवल एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $\alpha=$