यदि Ax^2+2Hxy+By^2=0 (H^2AB) द्वारा दी गई सर | vedclass

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Question

(D) रेखाओं का युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ द्वारा दिया गया है। माना इन रेखाओं के बीच का कोण $2	heta$ है। चूंकि $ax+by+c=0$ रेखा के साथ बना त्रिभुज समबाहु

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$4H^2$

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(D) रेखाओं का युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ द्वारा दिया गया है। माना इन रेखाओं के बीच का कोण $2	heta$ है। चूंकि $ax+by+c=0$ रेखा के साथ बना त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। रेखाओं $y=m_1x$ और $y=m_2x$ के बीच का कोण $	heta$,$	an 	heta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}ight|$ द्वारा दिया जाता है। समबाहु त्रिभुज के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $	heta = 30^{\circ}$। अतः,$	an 30^{\circ} = \frac{\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{H^2-AB}{(A+B)^2}$। $(A+B)^2 = 3(H^2-AB)$। $A^2+B^2+2AB = 3H^2-3AB$। $A^2+B^2+5AB = 3H^2$। हमें $(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2$ का मान ज्ञात करना है। रेखाओं $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ होने की शर्त के अनुसार,हम $\cos 60^{\circ} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं। $\frac{1}{2} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}} \implies (A-B)^2+4H^2 = 4(A+B)^2$। $A^2+B^2-2AB+4H^2 = 4(A^2+B^2+2AB)$। $4H^2 = 3A^2+3B^2+10AB$। अतः,$(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$।

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